三角形五心的所有性质和证明方法？

一、问题的提出

我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心，三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。

二、具体的实例的证明

重心:求证：三条中线交于一点

连接DE

DE//BC（中位线平行于底边）

假设目前只知道BE和DC两条中线。

AO交DE于G

∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）

DE//BC（中位线平行于底边）

∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）

△ADE相似于△ABC

F是中点那么G就是中点

再连接HI使其穿过O点

△AHI与△ADE中：

∠AHI=∠ADE

∠AIH=∠AED

∠A=∠A

因此△AHI与△ADE相似

因此O为HI中点

所以F为BC中点

即三条中线交于1点

求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？

证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心

做BG中点H，GC中点I

∴HI为△GBC的中位线

∴HI//BC,且 2HI=BC

同理：FE是△ABC中位线

∴FE//BC,且 2FE=BC

∴FE//HI,且 FE=HI

∴四边形FHIE是平行四边形

∴HG=GE

又H为BG的中点

∴HG=BH

∴HG=BH=GE

∴2GE=BG

∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍

垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。

因为AD⊥BC，BE⊥AC，

所以HA·BC=0，HB·CA=0，

即a·(c-b)=0，

b·(a-c)=0，

亦即

a·c-a·b=0

b·a-b·c=0

两式相加得

c·(a-b)=0

即HC·BA=0

故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。

内心:

己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O；

求证：

△ABC角平分线交于点O。

证明：∵点O在∠A的角平分线上，

∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；

同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。

根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，

又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。

∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。

求证:OI=OG=OH

∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6(角平分线)

在△AOI与△AOH中:

AO=AO(公共边)

∠1=∠2(角平分线)

∠AIO=∠AHO(垂直于对应边)

∴△AIO全等于△AHO(AAS)

∴OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)

在△COH与△COG中:

AO=AO(公共边)

∠1=∠2(角平分线)

∠COH=∠COG(垂直于对应边)

∴△COH全等于△COG(AAS)

∴OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)

外心:

证明:AD=BD=CD

在△AFO与△BFO中:

AF=BF

FO=FO

∠AFO=∠BFO(垂直平分线)

∴△AOF全等于△FOB(SAS)

∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)

在△AOE与△ECO中:

AE=EC

EO=EO

∠AEO=∠CEO(垂直平分线)

∴△AOE全等于△COE(SAS)

∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)

∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)

又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)

∴AO=BO=CO

即O为△ABC的外接圆的圆心

证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.

先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.

现在,FO与EO已相交于O点

∵HI//BC(已知)

∵GD⊥BC且D为BC中点

∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点

旁心:

证明:EO=FO=DO

在△ADO与△AFO中:

∠AFO=∠ADO

∠DAO=∠FAO(角平分线)

AO=AO(公共边)

∴△ADO与△AFO全等

∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)

在△FCO与△CEO中:

∠CFO=∠ACEO

∠ECO=∠FCO(角平分线)

CO=CO(公共边)

∴△FCO与△CEO全等

∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)

∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)

又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)

∴EO=FO=DO

Tags：三角形   性质   证明

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